箱玉系

number of boxes (3–300): fps (1–60): effect:

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操作方法

• 描かれている1つ1つの正方形が箱を表していると思ってください（箱の色は数を数えやすいように付けているだけで，特に意味はありません）．各箱には玉を1つずつ入れることができます．各箱の上でクリックすることで玉を入れたり取り出したりできます．最大で箱の数の半分まで玉を入れることができます．
• Start ボタンを押すとある規則に従って玉が自動的に動き出します．Stop ボタンで止まります．
• t--, t++ はそれぞれ手動で時間を1ステップ戻し/進めます．
• Random ボタンを押すと玉がランダムに配置されます．
• Clear ボタンを押すと全ての玉が取り出されます．
• "number of boxes" に数字を入れて Set ボタンを押すことで箱の数を変えることができます．
• "fps (frame per second)" はアニメーションのスピードを変えることができます．
• "effect" は玉の出し入れの際のアニメーションの On/Off を切り替えられます．

解説

箱玉系と呼ばれるセル・オートマトンのデモです．箱玉系は1990年に高橋と薩摩によって提案された，名前通り箱と玉で構成される系で，箱に入った玉を以下のルールで動かしていきます：

• 玉が入っている箱が左に，空き箱が右に隣り合っている対を見つけて線で結び，左の箱から右の箱へと玉を動かす．
• 線で結ばれた箱は以降無かったものとして，上の操作を玉の入っている箱が無くなるまで繰り返す．これを1ステップとする．

ただし，このデモでは右端の箱の右隣には左端の箱があると考えます（周期境界条件）．上から見たときに箱が円状に並んでいる状況を思い浮かべてください．例えば1ステップは次の図のようになります．

様々な初期配置に対してどのように箱玉系が振る舞うかを観察してみて下さい．おそらく以下のことに気が付くと思います．

• 玉のかたまりを単位として左から右へと動いていく．玉のかたまりが大きければ大きいほど速く動く．
• 2つの大きさの違う玉のかたまりがあると，大きい方が小さい方を追い越していく現象が観察できる．このとき，追い越しの前後でそれぞれのかたまりの大きさは変わらない．
• 追い越しの前後で，追い越す方が少し右へずれ，追い越される方は少し左へずれる（位相のずれ）．

この「追い越しの前後でかたまりが壊れず，位相がずれる」という現象はソリトン（浅水波）の追い越しでも観察できる現象です（KdV 方程式の数値シミュレーションを参照）．このことから，箱玉系はソリトン系を0（=空き箱）と1（=玉の入った箱）の2値で実現したものではないかと考えることができます．

実は，1996年に時弘らによって，あるソリトン系に対して「超離散化」と呼ばれる極限手続きを適用することで，箱玉系の時間発展方程式および解が導出できることが示されました（ただし境界条件は上と異なる．参考文献を参照）．こうして，箱玉系はソリトン系であるというお墨付きが得られたわけです．現在ではこの箱玉系を含む「超離散可積分系」の研究が活発に行われています．興味のある方は，和書を2つ参考文献に挙げておきますので読んでみて下さい．

参考文献

• D. Takahashi and J. Satsuma, A Soliton Cellular Automaton, J. Phys. Soc. Jpn. 59 (1990), 3514–3519.
• T. Tokihiro, D. Takahashi, J. Matsukidaira and J. Satsuma, From Soliton Equations to Integrable Cellular Automata through a Limiting Procedure, Phys. Rev. Lett. 76 (1996), 3247–3250.
• 広田良吾，高橋大輔，差分と超離散，共立出版，2003．
• 時弘哲治，箱玉系の数理，朝倉書店，2010．

ソースコード

• bbs-svg.js

• デモプログラム